LE FRAZIONI

Concetto di frazione.

Se dividiamo una striscia di carta in 2 parti uguali e ne prendiamo una, diciamo di prendere la metà della striscia.

1 : 2 = ½ = una metà

Se dividiamo la striscia in 3 parti uguali e ne prendiamo una, diciamo di prendere un terzo della striscia.

1 : 3 = ⅓= un terzo

Se dividiamo la striscia in 4 parti uguali e ne prendiamo una, diciamo di prendere un quarto della striscia.

1 : 4 = ¼ = un quarto, e così di seguito.

Se dividiamo una unità intera in parti uguali, ogni parte uguale si chiama unità frazionaria.

Perciò : ½, ⅓, ¼ sono unità frazionarie.

Frazionare significa dividere in  parti uguali.

Se dividiamo una striscia in 4 parti uguali e ne prendiamo 3, diciamo di prendere  i tre quarti della striscia.

¼ + ¼ + ¼ = ¾ = tre quarti.

L’unione di due o più unità frazionarie si chiama frazione.

Perciò : ¾ è una frazione.

Ogni frazione è formata da due numeri separati da una linea di frazione.

Il numero sotto la lineetta si dice denominatore ed indica in quante parti uguali è stata divisa l’unità.

Il numero sopra la lineetta si dice numeratore ed indica quante di queste parti si sono prese.

5 numeratore

-------- linea di frazione

9 denominatore

Perciò : aver ricevuto i 5/9 di una somma vuol dire che la somma è stata divisa in 9 parti uguali e che se ne sono ricevute cinque.

Frazioni decimali e ordinarie

Le frazioni, secondo la loro forma, si distinguono in decimali e ordinarie.

Si dice decimale una frazione che ha per denominatore 10, 100, 1000, ecc.

5/10; 17/100; 39/1000; 25/10000 sono frazioni decimali.

Le frazioni non decimali si dicono ordinarie.

5/11; 17/101; 39/1450; 25/12731 sono frazioni ordinarie.

• 1ª regola. Per trasformare una frazione decimale in un numero decimale, si divide il numeratore per il denominatore.

Esempio: 5/10 = 5 : 10 = 0,5.

• 2ª regola. Per trasformare un numero decimale in una frazione decimale, si mette come numeratore tutto il numero decimale senza la virgola e come denominatore l’unità seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali.

Esempio: 6,75 = 675/100

Frazioni proprie, apparenti, improprie

La frazione si può considerare come una divisione indicata.

Il numeratore corrisponde al dividendo, il denominatore al divisore.

Esempio: 3/8 = 3 : 8.

Se eseguiamo la divisione, troviamo il valore della frazione.

Esempio: 3/8 = 3 : 8 : 0,375 valore della frazione.

Le frazioni, secondo il loro valore, si dividono in proprie, apparenti e improprie.

Si dice propria una frazione il cui valore è minore della unità intera.

Nella frazione propria il numeratore è sempre più piccolo del denominatore.

Esempio: ¾ = 3 : 4 = 0,75.

Perciò: sono frazioni proprie ¾, 5/8, 2/5.

Si dice apparente una frazione il cui valore è esattamente uguale a una o più unità intere.

Nella frazione apparente il numeratore è uguale al denominatore o lo contiene un numero esatto di volte.

Esempio: 8/8= 8 : 8 = 1 14/7 = 14 : 7 = 2

Perciò: 8/8 e 14/7 sono frazioni apparenti.

• 1ª regola. Per trasformare una frazione apparente in un numero intero si esegue la divisione indicata.

Esempio: 54/9 = 54 : 9 = 6 180/6 = 180 : 6 = 30

Praticamente il 6 e il 30 sono unità intere.

• 2ª regola. Per trasformare un numero intero in una frazione apparente, si moltiplica il numero per il denominatore scelto e si mette il prodotto come numeratore.

Esempio: 8 = 8 x 3 = 24 9 = 9x5 = 45

3 3 5       5

Si dice impropria una frazione il cui valore è maggiore dell’unità intera.

Nella frazione impropria il numeratore è sempre più grande, ma non multiplo, del denominatore.

Esempio: 13/8 = 13 : 8 = 1,625 11/4 = 11 : 4 = 2,75

Perciò: 13/8 e 11/4 sono frazioni improprie.

Una frazione impropria equivale ad un numero misto, ad un numero cioè formato da unità intere e da unità frazionarie.

Esempio: 13/4=4/4+4/4+4/4+1/4 = 1+1+1+1/4=3+1/4.

• 3ª regola. Per trasformare una frazione impropria in un numero misto, si divide il numeratore per il denominatore: il quoziente sarà la parte intera, il resto sarà il numeratore della parte frazionaria.

Esempio: 17/3 = 17 : 3 = 5 + 2/3 15/4 = 15 : 4 = 3 + ¾

• 4ª regola. Per trasformare un numero misto in frazione impropria, si moltiplica il numero intero per il denominatore della frazione, si aggiunge al prodotto il numeratore e alla somma ottenuta si dà per denominatore quello della frazione.

Esempio: 3+5/8 = 3x8+5 = 29 5 + ¾=5x4+3 = 23

8         8 4         4

La frazione complementare

Se ho consumato i 3/8 dello stipendio, che parte me ne resta?

Lo stipendio è diviso in 8 parti uguali. Ogni parte è 1/8.

Tutto lo stipendio è 8/8. se ne ho speso 3/8, me ne restano 5/8.

5/8 è la frazione complementare di 3/8.

Si dice frazione complementare quella frazione che manca ad una frazione propria  per avere l’unità intera.

Infatti: unendo alla frazione 3/8 la frazione 5/8 otteniamo 8/8, cioè l’unità intera.

Così pure: la frazione complementare di 7/12 è 5/12.

Poiché 7/12 + 5/12 + 7 + 5 = 12/12 = 12 : 12 = 1.

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Problemi sulle frazioni

• 1° Conosco l’intero, cerco la parte frazionaria.

Problema. Un addetto guadagna per straordinario alla settimana euro 8.400 e ne spende i 5/8 per necessità personali.

Quanto spende?

- Divido la somma per 8 e  trovo 1/8 di euro 8.400.

euro (8.400 : 8) = euro 1.050.

Moltiplico un ottavo per 5  e trovo 5/8 di euro 8.400.

euro (1.050 x 5) =  euro 5.250.

Risposta : Spende euro 5.250.

Regola. Per calcolare la frazione di un numero, si divide il numero per il denominatore e si moltiplica il risultato per il numeratore.

• 2° Conosco la parte frazionaria e cerco l’intero.

Problema. Il magazziniere ha consegnato 144 abiti, cioè i 3/5 di quelle in deposito. Quanti erano in tutto gli abiti?

- Divido i 144 abiti per 3 e trovo 1/5 di 144 – (144:3) = 48.

Moltiplico un quinto per 5 e trovo 5/5, cioè l’intero. (48 x 5) = 240.

Regola. Per calcolare un intero del quale si conosca una parte frazionaria, si divide il numero che rappresenta la parte frazionaria per il numeratore e si moltiplica il risultato per il denominatore.